Em trabalhos relativamente grandes (exemplo: livros) não é muito interessante ter todo o conteúdo em um mesmo arquivo.tex, por ser dificil de visualizar e até mesmo para se organizar. O LaTeX oferece um excelente recurso: o comando \input. Com ele podemos inserir vários arquivos que o LaTeX cuida do resto. Funciona como se fosse um trecho do arquivo que apenas está em outro lugar e o LaTeX vai "chamá-lo". Abaixo segue um exemplo do comando:
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage{ucs}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{graphicx}
\begin{document}
\maketitle
Dado EDO:
\[
\dfrac{dy }{d x } = f(x,y) \textit{ e C.I. } y_{0}
\]
\[
y_{i+1} = y _{i} + h \phi (x _{i},y_{i},h)
\]
Onde $\phi = aK_{1}+bK_{2}+cK_{3}+dK_{4}$
Em que:
\[
aK_{1}+bK_{2} = \textbf{RK2}
\]
\[
aK_{1}+bK_{2}+cK_{3} = \textbf{RK3}
\]
\[
aK_{1}+bK_{2}+cK_{3}+dK_{4} = \textbf{RK4}
\]
\input{1.tex}
\input{2.tex}
\end{document}
Os arquivos 1.tex e 2.tex que o arquivo se refere estão logo abaixo:
\section{RK2}
\subsection{Metodo de Heun}
\[
y_{i+1} = y _{i} + h \left( \frac{1}{2} K_{1} + \frac{1}{2} K_{2} \right)
\]
\[
K_{1} = f(x _{i},y_{i})
\]
\[
K_{2} = f(x _{i}+h,y_{i}+hK_{1})
\]
\subsection{Metodo de Euler Modificado}
\[
y_{i+1} = y_{i} + hK_{2}
\]
\[
K_{1} = f(x _{i},y_{i})
\]
\[
K_{2} = f \left( x _{i}+\frac{h}{2},y_{i}+\frac{h}{2} K_{1} \right)
\]
\[
y^{n}(x) + a_{1}(x)y^{n-1}(x)+a_{2}(x)y^{n-2}(x)+...+a_{m}(x)y(x) = u(s)
\]
Com condiçao inicial:
\[
y(x_{0}),y'(x_{0}),y''(x_{0}),...,y^{n-1}(x_{0})
\]
Escolhendo as variaveis dependentes:
\[
y_{1} = y, y_{2} = y', y_{3}=y'', ..., y_{n}=y^{n-1}
\]
EDO's de 1a Ordem:
\[
y_{1}'=y_{2}=f_{1}(x, y_{1},y_{2},...y_{n})
\]
\[
y_{2}'=y_{3}=f_{2}(x, y_{1},y_{2},...y_{n})
\]
\[
y_{3}'=y_{4}=f_{3}(x, y_{1},y_{2},...y_{n})
\]
\[
y_{n-1}'=y_{n}=f_{n-1}(x, y_{1},y_{2},...y_{n})
\]
\[
y_{n}'= -a_{1}y_{n}-a_{2}y_{n-1}+...-a_{n}y_{1}+u = y_{2}=f_{1}(x, y_{1},y_{2},...y_{n})
\]
\[
\dfrac{d [y]}{d x} = [ f (x, y_{1},y_{2},...y_{n}) ]
\]
\[
[Y]
=
\left[
\begin{array}{c}
y_{1} \\
y_{2} \\
. \\
. \\
. \\
y_{n}
\end{array}
\right]
\textit{\ \ \ \ }
[Y_{0}]
=
\left[
\begin{array}{c}
y_{10} \\
y_{20} \\
. \\
. \\
. \\
y_{n0}
\end{array}
\right]
\]
\[
[f(x, y_{1},y_{2},...y_{n})] = [f(x,[Y])] =
\left[
\begin{array}{c}
f_{1}(x, y_{1},y_{2},...y_{n}) \\
f_{2}(x, y_{1},y_{2},...y_{n}) \\
. \\
. \\
. \\
f_{n}(x, y_{1},y_{2},...y_{n})
\end{array}
\right]
\]
\subsection{Metodo de Euler Modificado}
\[
[Y] _{i+1} = [Y]_{i} + h[K_{2}]
\]
\[
[K_{1}]=[f(x _{i},[Y] _{i} )] =
\left[
\begin{array}{c}
f_{1}(x_{i}, y_{1i},y_{2i},...y_{ni}) \\
f_{2}(x_{i}, y_{1i},y_{2i},...y_{ni}) \\
. \\
. \\
. \\
f_{n}(x_{i}, y_{1i},y_{2i},...y_{ni})
\end{array}
\right]
\]
\[
[K_{2}]=[f(x _{i} + \frac{h}{2},[Y] _{i} + \frac{h}{2}[K_{1}] )] =
\]
x'
O arquivo 2.tex:
\section{Exemplo}
Resolver a EDO de 2a Ordem usando o Metodo de Heun com passo h
\[
LC \dfrac{d ^{2} V}{d t ^{2}} + RC \dfrac{d V}{d t} + V = 0
\]
\[
\textit{ Com \ } \dfrac{d ^{2} V}{d t ^{2}} = \dfrac{d I}{d t}
\]
E
\[
\textit{ Com \ } \dfrac{d V}{d t } = I
\]
\[
\textit{C.I. } V(0) = V_{0} \textit{ \ \ e \ \ } \dfrac{d V}{d t} | _{t=0} = 0
\]
Sistema de EDO's de 1a Ordem
\[
\dfrac{d I}{d t} = - \frac{R}{L}I - \frac{1}{LC}V = f_{1}(t,I,V)
\]
\[
\dfrac{d V}{d t} = I = f_{2}(t,I,V)
\]
C.I.:
\[
V(0) = V_{0}, I(0) = 0
\]
\[
\dfrac{d[Y]}{d t} = [f(t,I,V)]
\]
\[
[Y] =
\left[
\begin{array}{c}
I \\
V
\end{array}
\right]
\]
\[
[Y] _{0} =
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
V _{0}
\end{array}
\right]
\]
Metodo de Heun
\[
[Y]_{i+1}=[Y]_{i}+\frac{h}{2}{ [K_{1}]+[K_{2}] }
\]
\[
[K_{1}]=[f(t _{i},[Y] _{i})] =
\left[
\begin{array}{c}
f_{1}(t_{i},I_{i},V_{i}) \\
f_{2}(t_{i},I_{i},V_{i})
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{c}
- \frac{R}{L}I_{i} - \frac{1}{LC} V_{i}\\
I _{i}
\end{array}
\right]
\]
\[
[K_{2}] = [ f(t_{i}+h, [Y]_{i}+h[K_{1}]) ]
\]
\[
[Y] _{i} =
\left[
\begin{array}{c}
I _{i}\\
V _{i}
\end{array}
\right]
\]
\[
[Y] _{0} =
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
V _{0}
\end{array}
\right]
\]
\[
t _{i} = t _{0} + ih, \textit{ \ \ \ com \ \ } i = 0,1,2...
\]
1o passo:
\[
[K_{1}]=[f(t _{0},[Y] _{0})] = [f(t_{0},0,V_{0})] =
\left[\begin{array}{c}
-\frac{V_{0}}{LC} \\
0
\end{array}
\right]
\]
\[
[K_{2}] = [ f(t_{0}+h, [Y]_{0}+h[K_{1}]) ]
\]
\[
[Y] _{0} + h[K_{1}] =
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
V_{0}
\end{array}
\right]
+
h
\left[
\begin{array}{c}
-\frac{V_{0}}{LC} \\
0
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{c}
- \frac{h V_{0}}{LC} \\
V_{0}
\end{array}
\right]
\]
\[
[Y]_{1}=[Y]_{0}+\frac{h}{2}{ [K_{1}]+[K_{2}] }
=
\left[
\begin{array}{c}
0 \\
V_{0}
\end{array}
\right]
+
\frac{h}{2}
\left\lbrace
\left[
\begin{array}{c}
-\frac{V_{0}}{LC} \\
0
\end{array}
\right]
+
\left[
\begin{array}{c}
\frac{RhV _{0}}{L ^{2}C} - \frac{1}{LC}V_{0} \\
-\frac{h V _{0}}{LC}
\end{array}
\right]
\right\rbrace
=
\left[
\begin{array}{c}
\frac{h}{2}\left( \frac{RhV_{0}}{L^{2}C} - \frac{2 V_{0}}{LC} \right) \\
V_{0} - \frac{h ^{2} V _{0}}{2 LC}
\end{array}
\right]
\]
\[
[Y]_{0}+h[K_{1}] = [f(h,- \frac{h V_{0}}{LC},V_{0})] =
\left[
\begin{array}{c}
- \frac{R}{L} \left( \frac{hV_{0}}{LC} \right) - \frac{1 V_{0}}{LC} \\
- \frac{h V _{0}}{LC}
\end{array}
\right]
\]
2o Passo (i=1):
\[
t_{1} = t_{0}+1h = h
\]
\[
[Y] _{2} = [Y] _{1} + \frac{h}{2} { [K_{1}]+[K_{2}] }
\]
\[
[k_{1}] = [f(t_{1},[Y]_{1})] =
\left[
\begin{array}{c}
f_{1}(t_{1},[Y]_{1}) \\
f_{1}(t_{1},[Y]_{1})
\end{array}
\right]
\]
\[
[K_{2}] = [f(t_{1}+h),[Y]_{1}+h[K_{1}]]
\]
\subsection{Exemplo}
Aplicar RK4 para obter uma aproximaçao da solucao da EDO:
\[
y''+(y^{2}-1)y'+y=0
\]
C.I.
\[
y(0)=0.25
y'(0)=0
\]
Considerar h = 0.15 e obter y(0.15) e y'(0.15), sendo:
\[
y' = \dfrac{d y}{d t} \textit{ \, \ } y'' = \dfrac{d^{2} y}{d t^{2}}
\]
Sistema de EDO de 1a Ordem
\[
\dfrac{d y}{d t} = x = f_{1}(t,y,x)
\]
\[
\dfrac{d x}{d t} = - (y ^{2} - 1)x-y = f_{2}(t,y,x)
\]
\[
[Y] =
\left[
\begin{array}{c}
y \\
x
\end{array}
\right]
\]
\[
[Y] _{0} =
\left[
\begin{array}{c}
0.25 \\
0
\end{array}
\right]
\]
\[
\dfrac{d [y]}{d t} = [f(t,y,x)]=
\left[
\begin{array}{c}
x \\
-(y^{2}-1)x-y
\end{array}
\right]
\]
RK4
\[
[Y] _{i+1} = [Y] _{i}+\frac{h}{6}([K_{1}]+2[K_{2}]+2[K_{3}]+[K_{4}])
\]
\[
[K_{1}] = [f(t _{i},[Y] _{i})]
\]
\[
[K_{2}] = [f(t _{i}+\frac{h}{2},[Y] _{i}+\frac{h}{2}[K_{1}])]
\]
\[
[K _{3}] =
\]
\[
[K _{4}] =
\]
